Séminaire informel de probabilités du DMA

14 octobre 2024. Igor Kortchemski (CNRS & DMA). Limites d'arbres aléatoires.
Nous esquisserons un panorama des limites de grands arbres aléatoires de Bienaymé-Galton-Watson

25 novembre 2024. Henri Orland (CEA IPTh). Chemins de transition de type ponts browniens et applications en biologie. PDF

9 décembre 2024. Paul Gassiat (Dauphine & DMA). Calcul de Malliavin et théorème d'hypoellipticité de Hörmander.

27 janvier 2025. Thibaut Lemoine (Collège de France). Théorèmes limites pour les ensembles orthogonaux.
Les processus déterminantaux sont des processus ponctuels répulsifs introduits par Macchi en 1972 pour modéliser les fermions (des particules satisfaisant le principe d'exclusion de Pauli). Depuis une vingtaine d'année, ces processus se sont retrouvés dans de très nombreux champs, allant des matrices aléatoires à l'intelligence artificielle en passant par la géométrie algébrique. Cet exposé se concentrera sur une famille particulière de processus déterminantaux, appelés ensembles orthogonaux, et dont le noyau s'écrit comme le noyau reproduisant d'un espace de Hilbert ; nous verrons quelques aspects de ces processus, et notamment comment obtenir des théorèmes limites à leur sujet (ex : théorème central limite). Si le temps le permet, nous verrons que de tels processus offrent un nouveau paradigme pour les méthodes de Monte Carlo.

10 février 2025. Aurélien Garivier (ÉNS Lyon). Les projections aléatoires peuvent-elles être creuses ? Autour du lemme de Johnson-Lindenstrauss.
Les projections aléatoires constituent une technique de réduction de dimension simple et efficace en apprentissage automatique non supervisé. Elles reposent sur l'existence de quasi-immersions pour un ensemble de points d'un espace euclidien de haute dimension vers un espace de dimension inférieure. Nous proposerons une présentation du lemme de Johnson-Lindenstrauss centrée sur la notion de variable sous-gaussienne, puis nous discuterons de la meilleure manière de construire des projections simples, et en particulier creuses.

17 mars 2025. Eleanor Archer (Dauphine). Limites locales des arbres couvrants uniformes via la formule des résistances effectives de Kirchhoff.
La formule des résistances effectives de Kirchhoff a été découverte par Kirchhoff en 1847, mais elle reste encore aujourd'hui un outil largement utilisé dans la recherche moderne. Cette formule énonce que, pour tout graphe fini G, la probabilité qu'une arête apparaisse dans l'arbre couvrant uniforme de G est égale à la résistance effective de cette arête lorsque nous considérons G comme un réseau électrique. Je présenterai la formule, j'expliquerai brièvement une preuve et j'illustrerai son utilisation dans une preuve récente de Nachmias et Peres (2022), qui montre que la limite locale des arbres couvrants uniformes d'une large classe de graphes est l'arbre de Bienaymé-Galton-Watson de loi de Poisson(1), conditionné à survivre. En chemin, nous verrons également l'algorithme de Wilson, un algorithme couramment utilisé pour l'échantillonnage des arbres couvrants uniformes.

31 mars 2025. Justin Salez (Dauphine). Une invitation au phénomène de cutoff pour les chaînes de Markov.
Le phénomène de cutoff est une transition abrupte vers l'équilibre subie par certains processus de Markov dans la limite où le nombre d'états tend vers l'infini. Découvert il y a quarante ans dans le contexte du mélange de cartes, il a depuis été établi dans une variété de contextes, notamment les marches aléatoires sur divers graphes et groupes, les systèmes de spins à haute température, ou les particules en interaction. Néanmoins, une théorie générale manque toujours, et l'identification des mécanismes généraux qui sous-tendent ce phénomène reste l'un des problèmes les plus fondamentaux dans le domaine des temps de mélange. Mon exposé sera une introduction sans pré-requis à cette question fascinante. Si le temps le permet, je présenterai pour terminer une avancée toute récente sur ce problème, basée sur les notions d'entropie, de courbure et de concentration.

7 avril 2025. Antoine Jego (CNRS & Dauphine). Invariance conforme et géométrie fractale aléatoire.
Cet exposé propose une promenade dans l’univers de la géométrie fractale aléatoire, où règne une propriété de symétrie : l’invariance conforme. La motivation principale réside dans l’étude de la limite d’échelle des modèles de physique statistique (percolation, modèle d’Ising, marche aléatoire, etc.) dans leur étant critique, principalement en dimension deux. Les physiciens ont développé une théorie, la théorie conforme des champs, leur permettant d’obtenir une compréhension très fine de ces modèles. En 2000, Schramm a offert à la communauté mathématique les Évolutions de Schramm—Loewner (SLE) donnant une description complètement nouvelle de ce mêmes objets. Nous examinerons ces deux approches en commençant par étudier le cas du mouvement brownien.

28 avril 2025. Benjamin Gess (Berlin & Leipzig). Gradient flow structures and large deviations for porous media equations.
While the derivation of nonlinear but uniformly parabolic equations from microscopic dynamics, fluctuations around these limits, and the corresponding canonical choice of a gradient flow structure are now well-understood, less is known for equations with either degenerate, or unbounded diffusivity. Specifically, for the model case of the porous medium equation (PME), multiple gradient flow structures have been identified since the works of Brézis and Otto; however, it remains unclear which, if any, are thermodynamic in nature, meaning that they arise through the large deviations of a microscopic model. In this talk, to demonstrate that the (formal) geometric picture we obtain is thermodynamic, we examine a rescaling of the zero-range process (ZRP) that converges to the PME and prove a full large deviations principle. The proof of this result is complicated by the degeneracy and unboundedness of the diffusivity. We then discuss how the large deviations rigorously identify a gradient flow structure for the PME.

5 mai 2025. Giulio Biroli (LPENS). Random Energy Model, Kernel Density Estimation and Diffusion Models for Generative AI.
The Random Energy Model (REM), introduced by Derrida in 1981, has become a cornerstone in the study of disordered systems, with profound implications in both physics and probability theory. Kernel density estimation (KDE) is a fundamental non-parametric tool in statistics for estimating probability densities from data. Diffusion models have recently emerged as powerful generative methods in artificial intelligence, enabling the creation of images, audio, and video.
In this talk, I will present a connection between these three distinct problems. By focusing on the asymptotic regime of high data dimensionality and large sample sizes, I will show how analytical techniques and theoretical insights from the REM can be leveraged to study both KDE and diffusion models. In particular, I will highlight how phase transitions observed in the REM, and their connection to extreme value theory and limiting laws of sums of i.i.d. random variables, have remarkable counterparts and consequences for these other problems in statistics and machine learning.

12 mai 2025. Gérard Ben Arous (NYU & IHES). Local geometry of high-dimensional mixture models: Effective spectral theory and dynamical transitions.
I will survey recent progress in the understanding of the optimization dynamics for high dimensional ML tasks, and in particular the local geometry of empirical risks in high dimensions in the case of classification tasks, via the spectral theory of their Hessian and information matrices. Joint work with Aukosh Jagannath, Jiaoyang Huang, Reza Gheissari.

2 juin 2025. Assemblée générale du projet PSL Statistical Physics and Mathematics
Pierre Le Doussal (LPENS). Titre à préciser.
Mathieu Lewin (CEREMADE). Titre à préciser.

2 octobre 2023. Nathanael Enriquez. Du problème de l'arbre minimal au graphe d'Erdős-Rényi.
En guise d'introduction au graphe d'Erdős-Rényi, je présenterai une approche possiblement originale du célèbre problème initié par Alan Frieze du poids asymptotique de l'arbre couvrant minimal à l'intérieur d'un graphe complet dont les arêtes sont distribuées de façon iid. Le problème des fluctuations de ce poids conduira à quelques questions naturelles sur le graphe d'Erdős-Rényi, parmi lesquelles la limite du processus des fluctuations de la taille de la composante géante, lorsque le paramètre de connexion varie. (Travail conjoint avec Gabriel Faraud et Sophie Lemaire)

13 novembre 2023. Werner Krauth. Le TASEP lifté, exemple intégrable des chaînes de Markov non-réversibles.
Au cours des dernières années, les chaînes de Markov non-réversibles ont été à la base d'algorithmes de Monte Carlo puissants, puisque libérés de la condition du bilan détaillé. Dans cet exposé, je discuterai le TASEP (1) lifté (2), une chaîne de Markov à la fois proche des applications et intégrable par ansatz de Bethe. Le modèle décrit un système uni-dimensionnel de particules en interaction de sphères dures sur réseau. Ses propriétés étonnantes (partiellement comprises) rappellent celles des algorithmes ECMC (3) en dimension plus élevée. (1) TASEP: “Totally asymmetric simple exclusion process”, (2) lifté : “Lifted Markov chain, comme défini par Chen, Lovász et Pak (1999)”, (3) ECMC: “event-chain Monte Carlo”.

11 décembre 2023. Benoît Laslier. Le “solid on solid” penché est liquide, au moins quand on le dégivre un peu.
Le “solid on solid” (SOS) est un exemple classique de modèle effectif d'interface qui est supposé décrire la frontière entre deux phases dans le modèle d'ising 3D sous-critique ou plus généralement le bord d'un cristal. Il a été beaucoup étudié avec des conditions aux bords constantes mais toutes les surfaces ne peuvent pas être alignées avec le réseau cristallin ! Nous verrons que le modèle penché a un comportement très différent du cas classique : si ma température est suffisamment basse nous montrerons qu'il a de grandes fluctuations assymptotiquement décrite par un champ libre gaussien. Travail en collaboration avec Eyal Lubetzky.

8 janvier 2024. Max Fathi. Stabilité du trou spectral en courbure positive.
Un théorème de Lichnerowicz (1958) indique que pour les variétés riemanniennes en dimension n dont la courbure de Ricci est minorée par n-1, la plus petite valeur propre positive du Laplacien vérifie est minorée par n. Ce résultat a de nombreuses applications, y compris en probabilités (concentration de la mesure, comportement en temps long du mouvement Brownien). Cette borne est optimale, car il y a égalité pour la sphère. Elle a depuis été généralisée au cadre des espaces métriques mesurés à courbure positive. Dans cet exposé, je présenterai un résultat de stabilité, sur les variétés dont le trou spectral est presque minimal, et je parlerai du rôle des lois beta dans ce problème. Cet exposé ne nécessitera aucun prérequis de géométrie. Travail en collaboration avec I. Gentil et J. Serres.

5 février 2024. Denis Bernard. Limite en bruit fort d’équations stochastiques : Quelques leçons (ou questions) issues de modèles quantiques. Les effets de faibles bruits sur un système dynamique sont bien compris, et ont de nombreuses applications, aussi bien en mathématique qu’en physique. Ceux induits par de forts bruits le sont moins (à ma connaissance). Je discuterai le comportement des solutions de certaines équations stochastiques en bruit fort issues de la mécanique quantique. Ce sera l’occasion d’aborder et d’illustrer les notions d’observations récurrentes en mécanique quantique, de contrôle quantique, de trajectoires quantiques, et leur modélisation.

11 mars 2024. Yan Fyodorov. On the density of complex eigenvalues of sub-unitary scattering matrices. What is the density of eigenvalues for a finite-size diagonal block of a resolvent of a large random matrix, with the spectral parameter chosen in the vicinity of the real axis? I will explain how this mathematical question is motivated by real experiments in wave-scattering systems, where due to absorption the associated scattering matrix is sub-unitary, hence moduli of its eigenvalues are nontrivial. Then I will present the results for the mean density of those moduli in the framework of random matrix models of quantum chaotic scattering. Relations to the density of complex eigenvalues of GUE resolvent blocks and eventually to the density of resonance poles of the scattering matrix in the complex energy plane will be discussed and exploited.

25 mars 2024. Théo Lenoir. Graphes à décomposition modulaire prescrite, convergence au sens des graphons et nombre de sous-graphe induits. L'objectif de cet exposé est de montrer comment se comportent certains types de modèles de graphes en particulier des modèles de graphes à motifs exclus. Pour cela nous introduirons la décomposition modulaire, un outil relativement connu en algorithmique, mais dont l'étude d'un point de vue probabiliste a commencé très récemment. Nous verrons alors comment pour une large classe de modèles définies par diverses contraintes sur la décomposition modulaire, on arrive à connaître la densité de chaque graphe comme sous-graphe induit. Ce résultat implique une convergence au sens des “graphons” qui peut être vue comme une sorte de convergence des matrices d'adjacences. On a la convergence d'un graphe de taille n vers un graphe “continu” qui est appelé cographon brownien et peut être construit à partir d'une excursion brownienne.

22 avril 2024. Piet Lammers. The 2D XY model and its relation to height functions. In this talk, I will present a new way to view an old expansion of the XY model. This visual perspective allows us to build a link between the phase transition of the model and the phase transition of height functions. It is based on my recent preprint “Bijecting the BKT transition”. Only basic/general notions in probability theory will be assumed.

27 mai 2024. Antoine Mouzard. Mesures de Gibbs et quantification stochastique. Dans cet exposé, je présenterai l'étude de mesures de Gibbs en dimension infinie. Ces mesures sont issues de la théorie quantique des champs et peuvent être interprétées comme lois de champs stochastiques irréguliers. Il est alors possible de construire et d'étudier ces objets aléatoires grâce à des équations aux dérivées partielles stochastiques (EDPS) en général singulières.

3 juin 2024. Anna Erschler. La probabilité de retour sur des groupes de matrices triangulaires.

12 Juin 2023. Cyril Imbert. Autour des travaux de Krylov.

22 Mai 2023. Cyril Houdayer. Frontières de Poisson des marches aléatoires sur les groupes et rigidité pour les réseaux de rang supérieur.

17 Avril 2023. Jan Swart. Brownian net and Brownian web.

13 Mars 2023. Guilhem Semerjian. Introduction aux problèmes aléatoires de satisfaction de contraintes.

13 Février 2023. Clément Levrard. Inférence pour des données avec une structure persistante.

16 Janvier 2023. Anna Ben-Hamou. Les estimateurs par moyenne locale en régression non-paramétrique. On présentera des résultats classiques sur la convergence des estimateurs par moyenne locale en régression, en développant surtout l’exemple de l’estimateur des plus proches voisins.

12 Décembre 2022. Cristina Toninelli. Le modèle Est ou sur les surprises que l’on a quand on regarde seulement à droite.

7 Novembre 2022. Guillaume Dubach. Calcul de Weingarten. Soit $U$ une matrice unitaire aléatoire de taille $d*d$ distribuée selon la mesure de Haar (c'est à dire de manière uniforme sur le groupe unitaire $\mathrm{U}(d)$). Je décrirai une méthode pour borner (et au besoin, calculer exactement) l'espérance de n'importe quel monôme en les entrées de $U$. Cette méthode, qui découle de développements récents initiés par les travaux de Benoît Collins (2003), repose sur des fractions rationnelles en la dimension $d$, appelées fonctions de Weingarten en hommage à Donald Weingarten qui en calcula les premiers exemples (1978).

3 Octobre 2022. Quentin Berger. Influence du désordre dans des systèmes physiques. Je discuterai de la question de l’influence du désordre sur les transitions de phase de systèmes physiques, en particulier à travers l’exemple de certains modèles de polymères aléatoires.

7 Juin 2022. Edward Saff. Discretizing Manifolds with Minimal Energy. Minimal discrete energy problems arise in a variety of scientific contexts, such as crystallography, nanotechnology, information theory, and viral morphology, to name but a few. The goal is to analyze the structure of configurations generated by optimal (and near optimal) N-point configurations that minimize the Riesz s-energy over a bounded surface in Euclidean space. The Riesz s-energy potential, which is a generalization of the Coulomb potential, is simply given by $1/r^s$, where r denotes the distance between pairs of points. We show how such potentials and their minimizing point configurations are ideal for use in sampling surfaces. Connections to the breakthrough results by Viazovska, Cohn, et al on best-packing and universal optimality in 8 and 24 dimensions will be discussed. Finally, we analyze the minimization of a k-nearest neighbor truncated version of Riesz energy that reduces the order $N^2$ computation for energy minimization to order $N\log N$, while preserving global and local properties.

31 Mai 2022. Carlo Mariconda. Le problème classique du calcul des variations: nouveaux résultats sur conditions nécessaires, régularité des minima et suites minimisantes.

24 Mai 2022. Gabriel Peyré. Introduction au transport optimal. Le transport optimal permet de définir des distances “géométriques” sur l'espace des distributions de probabilité. Il permet en particulier de quantifier la convergence en loi, qui est une notion de convergence faible utile à la foi en théorie (par exemple pour le théorème central limite) et en pratique (par exemple pour l'entraînement de réseaux de neurones). Dans cet exposé, je ferai un tour d'horizon de la formulation initiale de Monge et de sa relaxation sous la forme d'un problème convexe par Kantorovitch. Je mentionnerai le théorème de Yann Brenier qui fait le lien entre les deux. Enfin, je donnerai des exemples (en 1D, entre des nuages de points, entre des Gaussiennes) et j'esquisserai les limites théoriques et pratiques du transport optimal en grande dimension. Pour plus d'information (cours, slides, codes), vous pouvez vous rendre sur https://optimaltransport.github.io/

5 Avril 2022. Daniel Perez. Introduction à l'homologie persistante et à ses applications. L'homologie persistante est un invariant provenant de la topologie algébrique associé à un couple $(X,f)$ où $X$ est un espace topologique et $f : X \to \mathbb{R}$ est une fonction (continue). Ces invariants sont souvent utilisés en analyse topologique de données (TDA pour topological data analysis) et constituent un outil novateur dans l'appretissage statistique et dans l'analyse des données classique. Dans cet exposé, nous donnerons une introduction à l'homologie persistante, discuterons de ses applications et explorerons quelques conséquences de cette théorie sur l'étude des processus stochastiques sur des variétés Riemanniennes compactes.

8 Mars 2022. Giambattista Giacomin. Sur l’effet du désordre en mécanique statistique.
L’effet du désordre sur les modèles de la mécanique statistique est souvent surprenant (et, en tout cas, peu compris). J’approcherai ce problème avec le point de vue du « critère de (A. B.) Harris » et le but serait d’arriver à présenter les idées de base et de donner un panorama de ce qu’on (ne) sait (pas) faire. Note des organisateurs : pour en savoir plus, ne pas manquer les notes du cours de Saint-Flour 2010 de GB !

1 Février 2022. Guillaume Barraquand. Mesure de Schur, matrices aléatoires et systèmes de particules en interaction.
Les fonctions de Schur sont une base orthonormale de polynômes symétriques en plusieurs variables, qui possèdent de nombreuses propriétés combinatoires remarquables. L'une de ces propriétés, la formule sommatoire de Cauchy, permet de définir de manière très naturelle des mesures de probabilités sur les partitions d'entiers. Le but de l'exposé est d'expliquer une conséquence probabiliste de ces propriétés combinatoires, et son importance dans l'étude des processus de croissance d'interfaces, les systèmes de particules, ou encore les permutations aléatoires (d'après Baik-Deift-Johansson 1999, Johansson 2000, Okounkov 2001). Nous verrons au passage des liens surprenants avec la théorie des matrices aléatoires, et je conclurai en dressant un panorama des directions dans lesquelles ces résultats ont été généralisés pendant les 20 dernières années.

4 Janvier 2022. Dmitry Chelkak. Planar bipartite dimer model: discrete holomorphicity and Gaussian Free Field.
A classical theorem due to Kasteleyn says that the partition function of a planar dimer model equals to the Pfaffian of a properly signed adjacency matrix of the graph. In 2000, Kenyon proved that the fluctuations of the associated height function in special (so-called Temperleyan) discrete approximations to a given planar domain on refining square grids converge to the Gaussian Free Field. The starting point of Kenyon's argument is an interpretation of the Kasteleyn matrix as a discrete Cauchy-Riemann operator; one of the observations that brought discrete holomorphic functions to the focus of research on critical 2d lattice models during the following decade. However, the dimer model is known to be very sensitive to boundary conditions and such a straightforward interpretation fails for other types of discrete domains. One of the most classical examples of a more complicated behavior are the so-called Aztec diamonds: in this case, frozen/liquid zones appear and the height fluctuations in the liquid zone converge to a Gaussian field but the two-point function is not the standard Green function. The goal of this talk is to briefly review these classical results and – at the very end – to indicate recent developments on generalizations of the discrete complex analysis philosophy beyond “standard” setups.

7 Décembre 2021. Nathanaël Berestycki. Aperçu de la théorie conforme de Liouville.
La théorie conforme de Liouville a été introduite de manière non rigoureuse par Polyakov dans un papier fondamental de 1981. C'est une théorie quantique des champs (quantum field theory) en deux dimensions qui a une propriété supplémentaire d'invariance conforme, ce qui en fait une théorie conforme des champs. Je vais essayer de donner un aperçu de la construction rigoureuse de cette théorie donnée dans un papier tout aussi fondamental de David, Kupiainen, Rhodes et Vargas en 2015. Cette construction repose sur une version judicieusement choisie du champ libre Gaussien et sur son chaos multiplicatif Gaussien associé. J'essayerai également de montrer par un calcul simple en quoi cette théorie est « intégrable », c'est-à-dire qu'on peut espérer calculer de manière exacte un certain nombre d'observables. (Cette intégrabilité a notamment conduit Kupiainen, Rhodes et Vargas vers une preuve rigoureuse de la célèbre formule DOZZ).

9 Novembre 2021. Bastien Mallein. L'équation de convolution $P = P \ast Q$ de Choquet et Deny.

12 Octobre 2021. Raphaël Cerf. Le problème fondamental de la percolation en dimension 3.