Séminaire informel de probabilités du DMA

12 Octobre 2021. Raphaël Cerf. Le problème fondamental de la percolation en dimension 3.

9 Novembre 2021. Bastien Mallein. L'équation de convolution $P = P \ast Q$ de Choquet et Deny.

7 Décembre 2021. Nathanaël Berestycki. Aperçu de la théorie conforme de Liouville.
La théorie conforme de Liouville a été introduite de manière non rigoureuse par Polyakov dans un papier fondamental de 1981. C'est une théorie quantique des champs (quantum field theory) en deux dimensions qui a une propriété supplémentaire d'invariance conforme, ce qui en fait une théorie conforme des champs. Je vais essayer de donner un aperçu de la construction rigoureuse de cette théorie donnée dans un papier tout aussi fondamental de David, Kupiainen, Rhodes et Vargas en 2015. Cette construction repose sur une version judicieusement choisie du champ libre Gaussien et sur son chaos multiplicatif Gaussien associé. J'essayerai également de montrer par un calcul simple en quoi cette théorie est « intégrable », c'est-à-dire qu'on peut espérer calculer de manière exacte un certain nombre d'observables. (Cette intégrabilité a notamment conduit Kupiainen, Rhodes et Vargas vers une preuve rigoureuse de la célèbre formule DOZZ).

4 Janvier 2022. Dmitry Chelkak. Planar bipartite dimer model: discrete holomorphicity and Gaussian Free Field.
A classical theorem due to Kasteleyn says that the partition function of a planar dimer model equals to the Pfaffian of a properly signed adjacency matrix of the graph. In 2000, Kenyon proved that the fluctuations of the associated height function in special (so-called Temperleyan) discrete approximations to a given planar domain on refining square grids converge to the Gaussian Free Field. The starting point of Kenyon's argument is an interpretation of the Kasteleyn matrix as a discrete Cauchy-Riemann operator; one of the observations that brought discrete holomorphic functions to the focus of research on critical 2d lattice models during the following decade. However, the dimer model is known to be very sensitive to boundary conditions and such a straightforward interpretation fails for other types of discrete domains. One of the most classical examples of a more complicated behavior are the so-called Aztec diamonds: in this case, frozen/liquid zones appear and the height fluctuations in the liquid zone converge to a Gaussian field but the two-point function is not the standard Green function. The goal of this talk is to briefly review these classical results and – at the very end – to indicate recent developments on generalizations of the discrete complex analysis philosophy beyond “standard” setups.

1 Février 2022. Guillaume Barraquand. Mesure de Schur, matrices aléatoires et systèmes de particules en interaction.
Les fonctions de Schur sont une base orthonormale de polynômes symétriques en plusieurs variables, qui possèdent de nombreuses propriétés combinatoires remarquables. L'une de ces propriétés, la formule sommatoire de Cauchy, permet de définir de manière très naturelle des mesures de probabilités sur les partitions d'entiers. Le but de l'exposé est d'expliquer une conséquence probabiliste de ces propriétés combinatoires, et son importance dans l'étude des processus de croissance d'interfaces, les systèmes de particules, ou encore les permutations aléatoires (d'après Baik-Deift-Johansson 1999, Johansson 2000, Okounkov 2001). Nous verrons au passage des liens surprenants avec la théorie des matrices aléatoires, et je conclurai en dressant un panorama des directions dans lesquelles ces résultats ont été généralisés pendant les 20 dernières années.

8 Mars 2022. Giambattista Giacomin. Sur l’effet du désordre en mécanique statistique.
L’effet du désordre sur les modèles de la mécanique statistique est souvent surprenant (et, en tout cas, peu compris). J’approcherai ce problème avec le point de vue du « critère de (A. B.) Harris » et le but serait d’arriver à présenter les idées de base et de donner un panorama de ce qu’on (ne) sait (pas) faire. Note des organisateurs : pour en savoir plus, ne pas manquer les notes du cours de Saint-Flour 2010 de GB !

5 Avril 2022. Daniel Perez. Introduction à l'homologie persistante et à ses applications. L'homologie persistante est un invariant provenant de la topologie algébrique associé à un couple $(X,f)$ où $X$ est un espace topologique et $f : X \to \mathbb{R}$ est une fonction (continue). Ces invariants sont souvent utilisés en analyse topologique de données (TDA pour topological data analysis) et constituent un outil novateur dans l'appretissage statistique et dans l'analyse des données classique. Dans cet exposé, nous donnerons une introduction à l'homologie persistante, discuterons de ses applications et explorerons quelques conséquences de cette théorie sur l'étude des processus stochastiques sur des variétés Riemanniennes compactes.

24 Mai 2022.

7 Juin 2022. Edward Saff. Titre à préciser.